1. Nim 游戏的必胜判定为何等价于各堆石子数的异或和非零？用数学归纳法证明，异或零态的任何移动都导致非零态，非零态总存在移动回到零态
问题
用数学归纳证明 Nim 游戏必胜判定等价于各堆石子数的异或和非零？
考察点
- Nim 异或和判定的两个方向
- 异或零态任何移动都变非零
- 非零态总存在移动回到零态
答案
设异或和为 S。若 S=0，任何移动改变某一堆（如把 a_i 改为 a_i'<a_i），则新异或和 S' = S ⊕ a_i ⊕ a_i' = a_i ⊕ a_i' ≠ 0，因为 a_i ≠ a_i' 时异或不为零，故零态的任何移动都到非零态。若 S≠0，设 S 的最高位在 k，则存在某堆 a_i 的第 k 位为 1；令 a_i' = a_i ⊕ S（因 S 的最高位 k 处 a_i 为 1，异或后该位变 0 且更高位不变，故 a_i' < a_i），把 a_i 降为 a_i' 后新异或 S' = S ⊕ a_i ⊕ a_i' = S ⊕ a_i ⊕ (a_i⊕S) = 0。故非零态总存在移动回到零态。由此归纳：异或非零为先手必胜态（P/N 判定），异或零为必败态。
解析
这是 Nim 的经典证明：零态是"冷态"（任何移动都进热态），非零态是"热态"（可一步到冷态）。归纳保证由终态（全零，异或为 0，必败）向上推，所有异或零态必败、非零态必胜。
示例代码
boolean nimWin(int[] piles) {
int s = 0; for (int x : piles) s ^= x;
return s != 0; // 先手必胜
}