原码反码补码

• 补码最高位为负位权
• 补码表示范围推导
• 最高位为 1 时整体恒为负数

8 位补码的最高位（第 7 位）权值为 -2^7 = -128，其余 7 位权值为 2^0 到 2^6 的正数。当最高位为 1 且其余位全为 0 时，值 = -128 + 0 = -128，可表示。而 +128 需要第 7 位为 1（其无符号权值 128），但第 7 位在补码中就是符号位、权值为 -128，任何最高位为 1 的模式都表示负数；最高位为 0 时其余 7 位最大只能到 127，同样无法达到 +128。最高位为 1 时整体总是负数，所以 +128 无法表示。

补码把最高位当作负的位权，因此取值范围是 [-128, 127]。+128 需要符号位为 1 却又作为正数，二者矛盾，故不可表示。正数最大值是 01111111 = 127。

• 原码正负零歧义
• 补码统一 0 与减法转加法
• 减法转为补码加法统一处理

原码中 0 有两种表示：+0 = 00000000、-0 = 10000000，比较是否相等时需要特殊处理，且运算结果可能得到 -0，造成混乱。补码中 0 只有唯一表示 00000000（-0 的补码 = 2^8 - 0 = 0，也得到 00000000），消除了正负零歧义。同时补码把减法转为加法，例如 a - b = a + (-b) 的补码，无需单独的减法器，硬件更简单。

原码的 -0 是减法运算易出错、比较需特判的根源。补码通过模运算使 -0 与 +0 重合，并用加法统一处理正负，既简化硬件又消除歧义。

• 补码计算公式
• 全 1 模式的数值含义
• 模 2^8 下 -1 与全 1 等价

-1 的补码 = 2^8 - 1 = 255 = 11111111（二进制）。因此 8 位补码中 -1 的位模式是全 1。原因是最高位权值为 -2^7 = -128，其余 7 位全为 1 时贡献 127，总和 -128 + 127 = -1。所以全 1 模式恰好表示 -1，这是补码的标准形式。

补码公式 -1 = 2^8 - 1 直接给出全 1。用位权验证：-128 + 127 = -1，两者一致。值得一提的是，全 1 也是无符号解读下的 255，正好是模 2^8 下 -1 的等价类。

• 原码、反码、补码的定义
• 负数三种编码的差异
• 补码 = 反码 + 1 的转换关系

42 的二进制是 00101010。原码：符号位为 1，其余为绝对值，即 10101010。反码：符号位保持 1，绝对值位取反，即 11010101。补码：反码加 1，即 11010110。三者符号位相同，区别在于数值位：原码直接用绝对值，反码取反，补码取反加 1。

原码 10101010、反码 11010101、补码 11010110。可见补码 = 反码 + 1，是三者中最适合做运算的形式。验证：补码 11010110 按位权 -128+64+16+4+2 = -42，正确。

• 原码数值解读
• 反码与补码的转换
• 补码按位权验证数值

原码 10110101 符号位为 1（负数），绝对值位 0110101 = 32+16+4+1 = 53，所以数值为 -53。反码：符号位不变，数值位取反，得 11001010。补码：反码加 1，得 11001011。

原码读取先看符号位，再读绝对值。反码 = 原码数值位取反，补码 = 反码 + 1。验证补码 11001011 位权：-128+64+8+2+1 = -53，正确。

• 三种编码的定义
• 补码的优势
• 补码表示范围比原码、反码多一个

原码：符号位加绝对值，0 有正负两种表示。反码：负数把原码数值位取反，0 也有两种表示。补码：负数取反加 1，0 唯一。计算机采用补码，因为：其一，补码 0 唯一，消除正负零歧义；其二，减法可统一为加法，硬件只需加法器；其三，表示范围比原码、反码多一个（能表示 -2^(n-1)）；其四，符号位可参与统一运算，溢出判断也简单。

补码把模运算引入负数表示，使加法电路与无符号一致，这是其被广泛采用的根本原因。代价是表示的不对称性，但收益远大于代价。

• 模 2^n 运算
• 补码加法与无符号加法一致
• 高位进位丢弃即模 2^8 运算

在模 2^8 意义下，-3 = 2^8 - 3 = 253，因此 -3 的补码位模式就是 253（11111101）。补码加法 -3 + 5 = 2，等价于无符号 253 + 5 = 258，而 258 mod 256 = 2。位运算过程：11111101 + 00000101 = 1 00000010，低 8 位为 00000010 = 2，进位 1 被丢弃，正好是模 2^8 的结果。所以补码加法与无符号加法在位数截断后完全一致。

补码把负数映射到模 2^8 的补余，使减法、加法都变成无符号模加。硬件只需一套无符号加法器，进位自然丢弃即是模运算。这证明补码与无符号加法的统一性。

• 补码读取十进制值
• 取反加一的性质
• 取反加一得到相反数

补码 11110000 最高位为 1，是负数。其值 = -128 + 64 + 32 + 16 = -128 + 112 = -16。按位取反得 00001111，加 1 得 00010000 = 16。验证：-16（原数）与 16（取反加一）相加 = 0，符合取反加一得到相反数的性质。

取反加一对任意补码 x 得到 -x，因此 x + (~x + 1) = 0。这里 11110000 取反加一为 00010000，即 16，与 -16 互补，验证成立。

• 补码加法溢出
• 8 位补码范围
• 两负数相加结果符号位为 0 判定溢出

10000000 是 -128。10000000 + 10000000 = 1 00000000，低 8 位为 00000000 = 0，但数学上 -128 + (-128) = -256，超出 8 位补码范围 [-128, 127]。结果本应为 -256，却得到 0，明显错误，产生溢出。因为两个负数相加所得符号位为 0，符号不符合预期，属于溢出。

溢出判断：两个负数相加结果应为负，但这里符号位为 0，是正数，说明溢出。用双符号位或看进位：最高位产生进位（1）而符号位进位为 0，发生溢出。

• 原码、反码的 ±0
• 补码模运算消除 ±0
• 腾出的位模式 10000000 表示 -128

原码中 +0 = 00000000、-0 = 10000000；反码中 +0 = 00000000、-0 = 11111111。两种编码都有两个 0，比较相等、判断符号时需特判，运算也可能得到 -0，造成混乱。补码中 -0 的补码 = 2^8 - 0 = 0，即 00000000，与 +0 重合，故 0 只有唯一表示，消除了歧义，也把 10000000 腾出来表示 -128。

补码通过模 2^n 定义，使 -0 映射到 0 本身，正负零合一。唯一 0 让比较和运算更简单，同时多出一个可用位模式表示 -2^(n-1)。

• 减法转加法
• 双符号位溢出判定
• 符号位进位与最高位进位不一致判定溢出

补码最重要的性质是减法可转为加法：a - b = a + (-b)。由于 -b 的补码就是 b 取反加一，硬件只需加法器即可完成减法和。溢出判定的一种方法是双符号位（变形补码）：运算时用两个符号位，若结果两个符号位不同（如 01 或 10），说明溢出。具体地，00 表示正数无溢出，11 表示负数无溢出，01 表示正溢出（上溢），10 表示负溢出（下溢）。

双符号位判溢出利用最高位进位与次高位进位是否一致判断：若符号位进位与最高数位进位不同则溢出。这是硬件常用的溢出检测手段，比单看符号位更可靠。

• 符号扩展
• 补码位权下高位填充 1 的语义
• 符号扩展保持数值不变的位权原理

0x80 = 10000000 是 8 位补码 -128。符号扩展到 16 位时，把符号位（1）复制到新增的高 8 位，得到 11111111 10000000 = 0xFF80。验证其值：16 位补码中最高位权值为 -2^15 = -32768，其余各位求和 = 32768 - 128 = 32640，总和 -32768 + 32640 = -128。新增的高位全 1 并没有改变数值，因为它们在 16 位补码的负位权下，通过模运算等价于原 8 位数的符号扩展。

符号扩展保持负数不变，因为高位填 1 等同于把模 2^8 的数在模 2^16 下取同一等价类。对正数，高位填 0 保持正数值不变。这是 C 语言中 char 提升到 int 时保值的关键。

• 取反加一的代数性质
• 自反性证明
• x + ~x = 全 1 = -1 的代数关系

对任意 x，x + (~x) = -1（全 1），因为每一位 x 与 ~x 相加都是 1。因此 x + (~x + 1) = -1 + 1 = 0，即 ~x + 1 = -x，所以取反加一得到相反数。再取一次：~(~x+1)+1 = -(-x) = x，回到原值，证明自反性。例如 x = 5 = 00000101，~x+1 = 11111010+1 = 11111011 = -5，再取反加一得 5。

关键在于 x + ~x = 全 1 = -1，从而 ~x + 1 = -x。由于相反数运算是对合（involution），两次运算回到原值。这是 C 中 ~x + 1 求负的重要依据。

• 补码加法溢出
• 标志位（OF/CF）
• OF 与 CF 在带符号与无符号视角的区别

01111111 + 00000001 = 10000000。按位计算 01111111 + 00000001 = 10000000（进位进入符号位）。01111111 = 127，00000001 = 1，数学和 = 128，但 8 位补码结果 10000000 = -128，明显错误，发生溢出。最高位进位（无符号进位）产生 CF，但更重要的是符号位进位与最高数位进位不一致（无符号最高位进位为 0，符号位进位为 1），产生带符号溢出标志 OF。

01111111 是最大正数 127，加 1 溢出为 -128。这是正溢出，置位 OF（溢出标志）。因为无符号看 CF（进位），有符号看 OF（溢出），本例是带符号溢出，OF 置位。

• INT_MIN/INT_MAX 位模式
• 边界溢出行为
• 负数比正数多一个的不对称性

32 位补码中 INT_MAX = 01111111111111111111111111111111（0x7FFFFFFF），INT_MIN = 10000000000000000000000000000000（0x80000000）。INT_MAX + 1 在 C 中是未定义行为（UB），但在常见实现中会回绕到 INT_MIN。INT_MIN - 1 同样 UB，常回绕到 INT_MAX。INT_MIN 取负（-INT_MIN）也为 UB，因为 +INT_MIN 无对应正数。在硬件层面，INT_MAX+1 产生正溢出，置位 OF。

INT_MAX 是 0x7FFFFFFF，INT_MIN 是 0x80000000，二者不对称：负数比正数多一个。C 标准将有符号溢出定为 UB，因此编译器可随意优化，需依赖硬件检测或使用无符号/饱和运算。

• 隐式转换规则
• 符号扩展陷阱
• 有符号转无符号后负数便成很大的正数

当有符号与无符号整数参与运算时，C 会进行隐式转换。常见陷阱：短的有符号数提升到更长位宽，若按符号扩展则保持数值，若按无符号扩展（高位填 0）则会改变数值。例如 (char)-1 提升到 int 符号扩展为 -1，但若先转 unsigned char 再扩展则变成 255。此外，有符号与无符号混合比较时，有符号会被转成无符号，导致负数变成很大的正数，比较结果反直觉。

陷阱根源在于符号扩展与非符号扩展的区分，以及混合运算时向无符号转换的规则。例如 -1 < 0u 的结果是 false，因为 -1 转成无符号后是很大的数。避免方法：显式强转、避免混合比较。

• IEEE 754 三字段
• 规格化与非规格化
• 隐含整数位 1 扩大有效精度

IEEE 754 将浮点数表示为 (-1)^s × 1.f × 2^(e-bias)，其中 s 是符号位，e 是移码表示的指数（单精度 8 位，偏移 127），f 是尾数（单精度 23 位，隐含整数位 1）。单精度共 32 位：1 位符号 + 8 位指数 + 23 位尾数；双精度 64 位：1 + 11 + 52。指数全 0 表示次正规数或 0，全 1 表示 Inf 或 NaN。规格化数隐含一位开头的 1，扩大了有效精度。

用移码表示指数可方便比较大小，隐含 1 位省去存储空间。IEEE 754 的设计兼顾精度、范围与特殊值（0、Inf、NaN）的表示。

• 移码定义
• 偏置表示的优势
• 指数域顺序与真实指数一致便于比较

移码（biased representation）是把真实指数加上一个偏置值得到存储值。单精度偏置 127，双精度偏置 1023。存储的实际指数 = 真实指数 + 偏置。用偏置表示的原因：一是使指数域从全 0 到全 1 单调递增，便于浮点数的排序比较（无需先判断符号）；二是使指数可表示负数（负指数通过小于偏置的存储值表示），且全 0 和全 1 保留给特殊值（0、次正规、Inf、NaN）。

相比补码，移码让指数域的数值顺序与真实指数顺序一致，比较两个浮点数时先比指数域即可，硬件更简单。这是 IEEE 754 采用偏置的关键理由。

• 补码范围推导
• 补码 0 唯一导致的不对称
• 256 个位模式中 0 仅占一个

8 位共 256 个位模式。原码、反码中 0 占两个模式（+0、-0），所以正负各 127 个，范围为 [-127, 127]。补码中 0 只有一个模式（00000000），多出的一个模式 10000000 被用作 -128（最负数），因此负数有 128 个，正数 127 个，范围为 [-128, 127]。不对称正是补码 0 唯一表示带来的结果。

256 个模式中，0 占一个，剩下 255 个，负数多占一个（128 个），正数 127 个。所以最小负数 -128 无对应正数 +128，这是补码不对称的必然。