分治 FFT 与生成函数与进阶多项式

共 17 题
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1. CDQ 分治优化 DP 的边界中为什么左侧区间贡献要先处理完再贡献右侧,复杂度 T(n)=2T(n/2)+O(n log n) 的解?

A O(n log n)
B O(n²)
C O(n log² n) ✓ 正确答案
D O(n)
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2. 生成函数与组合计数中普通生成函数/指数生成函数的卷积意义,何时用 exp/ln?

A 有标号对象(如排列、有标号图) ✓ 正确答案
B 无标号组合
C 数值计算
D 多项式求值
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3. 生成函数 OGF/EGF 在计数题 (排列、子集、循环) 的工程应用。

A 1/(1−x)
B (1+x)^n ✓ 正确答案
C exp(x)
D x^n
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4. 生成函数在 Catalan 与组合类计数的工程应用。

A C(x) = C(x)²
B C(x) = 1 + x·C(x)² ✓ 正确答案
C C(x) = 1/(1−x)
D C(x) = x
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5. CDQ 分治与整体二分(Parallel Binary Search)中两者都基于离线分治,适用问题有何不同?

A 整体二分处理偏序
B 两者完全相同
C CDQ 分治处理"贡献/偏序依赖",整体二分处理"答案可二分的批量询问" ✓ 正确答案
D CDQ 处理可二分答案
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6. 分治 FFT 的原理中 CDQ 分治 + 卷积如何把形如 dp[i]=∑_{j<i} dp[j]g[i-j] 的转移优化到 O(n log² n)?

A 单次卷积
B 每层 O(n),共 n 层
C 每层 O(n²)
D 每层一次卷积 O(n log n),共 log n 层 ✓ 正确答案
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7. 用生成函数解递推的标准流程,从递推式构造普通生成函数、化为闭式、部分分式展开到通项公式,以斐波那契为例?

A x/(1−x−x²) ✓ 正确答案
B 1/(1−x)
C x²/(1−x)
D 1/(1−x²)
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8. Bostan-Mori 算法中如何在 O(k log k log n) 内求线性递推第 n 项?

A 不变
B 减 1
C 翻倍
D 减半(奇偶分离,n → n/2),共 O(log n) 步 ✓ 正确答案
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9. 分治 FFT 在 CDQ 分治 + 转移卷积的 O(n log² n) 推导 (前缀和卷积形式)。

A O(n log n) ✓ 正确答案
B O(n²)
C O(n)
D O(log n)
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10. 分治 FFT 在生成函数计数 (Catalan、组合类) 的工程实现路径。

A 多项式开方(牛顿迭代) ✓ 正确答案
B 排序
C 哈希
D 线性查找
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11. FFT 在浮点误差界与拆分系数的工程实现。

A 内存不足
B 只能处理整数
C 旋转因子与乘加的舍入误差,随 n 累积 ✓ 正确答案
D 与系数无关
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12. Schönhage-Strassen 与三次迭代 NTT 在大整数乘法的工程实现。

A 把大整数按位分块做多项式卷积,再进位还原 ✓ 正确答案
B 逐位乘法
C 直接相加
D 用哈希
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13. 三次迭代 NTT 在常数优化的工程实现。

A 用浮点
B 大量使用 % 取模
C 用递归
D 预计算旋转因子表,避免每次 pow 求幂 ✓ 正确答案
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14. 分治 FFT 在树形 DP 转移卷积的工程实现。

A O(1)
B O(n log n)
C O(n)
D O(n²) ✓ 正确答案
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15. 生成函数在 OGF 与 EGF 与形式幂级数在计数题的应用。

A EGF 用于无标号
B 两者完全相同
C OGF 用于无标号对象,EGF 用于有标号对象 ✓ 正确答案
D OGF 用于有标号
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16. 多项式复合与复合逆的应用中形式幂级数运算在计数问题中的边界?

A 任意常数项
B 常数项为 1
C 常数项为 0(否则会出现无穷多项) ✓ 正确答案
D 常数项为负
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17. CDQ 分治的适用条件中离线分治处理"左侧贡献影响右侧"的 DP 转移?

A 转移双向依赖
B 转移是"左侧贡献右侧"的单向依赖,且可离线、贡献可批量计算 ✓ 正确答案
C 必须在线
D 贡献每次只能 O(1)